Giả sử f là hàm số chỉ theo thời gian.

• Ta có  f ˙ ( t ) → 0 {\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0} không có nghĩa là f ( t ) {\displaystyle f(t)} có một giới hạn tại t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } . Ví dụ, f ( t ) = sin ⁡ ( ln ⁡ ( t ) ) , t > 0 {\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0} .
• f ( t ) {\displaystyle f(t)} tiến tới một giới hạn khi t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } không có nghĩa là f ˙ ( t ) → 0 {\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0} . Ví dụ, f ( t ) = sin ⁡ ( t 2 ) / t , t > 0 {\displaystyle f(t)=\sin(t^{2})/t,\;t>0} .
• f ( t ) {\displaystyle f(t)}  bị chặn dưới và giảm ( f ˙ ≤ 0 {\displaystyle {\dot {f}}\leq 0} ) ngụ ý là nó hội tụ đến một giới hạn. Nhưng nó không có nghĩa là có hay không  f ˙ → 0 {\displaystyle {\dot {f}}\to 0}  khi  t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } .

Bổ đề Barbalat cho biết:

Nếu  f ( t ) {\displaystyle f(t)}  có một giới hạn hữu hạn khi t → ∞ {\displaystyle t\to \infty }  và nếu  f ˙ {\displaystyle {\dot {f}}}  là liên tục đều (hoặc  f ¨ {\displaystyle {\ddot {f}}}  bị chặn), thì f ˙ ( t ) → 0 {\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}  khi  t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } .

Thông thường, rất khó để phân tích sự ổn định tiệm cận của các hệ thống thời gian biến đổi vì rất khó để tìm ra hàm Lyapunov với một đạo hàm xác định âm.

Chúng ta biết rằng trong trường hợp của các hệ thống tự hành (thời gian bất biến), nếu  V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}}  là nửa xác định âm (NSD), thì cũng có thể biết được các hành vi tiệm cận bằng cách sử dụng định lý bất biến nào đó. Tuy nhiên, sự linh hoạt này không sẵn có cho các hệ thống thời gian biến đổi. Đây là nơi "bổ đề Barbalat " được sử dụng tới. Nó nói rằng:

Nếu  V ( x , t ) {\displaystyle V(x,t)}  thỏa mãn những điều kiện sau:

1. V ( x , t ) {\displaystyle V(x,t)}
2. V ˙ ( x , t ) {\displaystyle {\dot {V}}(x,t)}  là nửa xác định âm (NSD)
3. V ˙ ( x , t ) {\displaystyle {\dot {V}}(x,t)} là liên tục đều theo thời gian (được thỏa mãn nếu  V ¨ {\displaystyle {\ddot {V}}}  là hữu hạn)

thì  V ˙ ( x , t ) → 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x,t)\to 0} as t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } .

Ví dụ sau đây được lấy từ trang 125 của cuốn sách của Slotine và Li: Điều khiển phi tuyến ứng dụng.

Xem xét một hệ thống không tự hành sau

e ˙ = − e + g ⋅ w ( t ) {\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)} g ˙ = − e ⋅ w ( t ) . {\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}

Đây là hệ thống phi tự hành bởi vì đầu vào w {\displaystyle w}  là một hàm số theo thời gian. Giả sử rằng đầu vào w ( t ) {\displaystyle w(t)}  bị chặn.

Lấy  V = e 2 + g 2 {\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}  ta có  V ˙ = − 2 e 2 ≤ 0. {\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}

Điều này nó lên rằng  V ( t ) <= V ( 0 ) {\displaystyle V(t)<=V(0)} bởi hai điều kiện đầu tiên và do đó e {\displaystyle e}  và  g {\displaystyle g}  là bị chặn. Nhưng nó không nói bất cứ điều gì về sự hội tụ của e {\displaystyle e}  về zero. Hơn nữa, định lý tập bất biến không thể được áp dụng, vì các đặc tính động lực học là không tự hành.

Sử dụng bổ đề Barbalat:

V ¨ = − 4 e ( − e + g ⋅ w ) {\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)} .

Hàm này là bị chặn bởi vì  e {\displaystyle e} , g {\displaystyle g}  và  w {\displaystyle w}  là bị chặn. Điều này nghĩa là V ˙ → 0 {\displaystyle {\dot {V}}\to 0}  khi  t → ∞ {\displaystyle t\to \infty }  và do đó  e → 0 {\displaystyle e\to 0} . Điều này chứng tỏ rằng các sai số là hội tụ.